대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그와 원점 지나는 직선

문제

두 양수 a,ba , b에 대하여 좌표평면 위의 두 점 (2,log⁡4a)\left( 2 , \log _{4} a \right), (3,log⁡2b)\left( 3 , \log _{2} b \right)를 지나는 직선이 원점을 지날 때, log⁡ab\log _{a} b의 값은? (단, a≠1a \ne 1) [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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③

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해설

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그값을 구할 수 있는가? 두 점 (2,log⁡4a)( 2 , \log _{4} a ), (3,log⁡2b)( 3 , \log _{2} b )를 지나는 직선이 원점을 지나므로 원점과 각각 두 점을 잇는 직선의 기울기는 서로 같아야 한다. 즉, log⁡4a2=log⁡2b3\displaystyle \frac{\log _{4} a}{2} = \frac{\log _{2} b}{3} 에서 14log⁡2a=13log⁡2b\displaystyle \frac{1}{4} \log _{2} a = \frac{1}{3} \log _{2} b 이므로 ∴ log⁡2a=43log⁡2b\displaystyle \log _{2} a = \frac{4}{3} \log _{2} b 따라서, ∴log⁡ab=log⁡2blog⁡2a\displaystyle \log _{a} b = \frac{\log _{2} b}{\log _{2} a}=log⁡2b43log⁡2b=34\displaystyle = \frac{\log _{2} b}{{} \frac{4}{3} \log _{2} b} = \frac{3}{4}

태그

#로그의 성질#밑변환

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