로그와 수직인 직선

두 점 $\left( 0 , 0 \right)$, $\left( \log _{2} 9 , k \right)$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{k - 0}{\log _{2} 9 - 0} = \frac{k}{2 \log _{2} 3}$ 직선 $\left( \log _{4} 3 \right) x + \left( \log _{9} 8 \right) y - 2 = 0$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{\log _{4} 3}{\log _{9} 8} = - \frac{\frac{1}{2} \log _{2} 3}{\frac{3}{2} \log _{3} 2} = - \frac{\log _{2} 3}{3 \log _{3} 2}$ 두 직선이 서로 수직이므로 $\displaystyle \frac{k}{2 \log _{2} 3} \times \left( - \frac{\log _{2} 3}{3 \log _{3} 2} \right) = - 1$, $k = 6 \log _{3} 2$ 따라서 $3 ^{k} = 3 ^{6 \log _{3} 2} = 3 ^{\log _{3} 2 ^{6}} = 2 ^{6} = 64$