로그와 지수 곡선의 원 넓이

[출제의도] 로그함수의 극한 문제해결하기 두 곡선 $y = \ln \left( x + 1 \right)$, $y = e ^{x} - 1$은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이고, 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 기울기가 $- 1$인 직선 위의 점이므로 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 두 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$, $\mathrm{Q} ( \mathit{b} , a )$에 대하여 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{\mathit{a + b}}{2} , \frac{a + b}{2} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( a - b \right)$ $\left( \because a > b \right)$ $\displaystyle \therefore S ( a ) = \frac{\pi}{2} \left( a - b \right) ^{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{OM}}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( a + b \right)$ $\displaystyle \therefore T ( a ) = \frac{\pi}{8} \left( a + b \right) ^{2}$ $4 T ( a ) - S ( a )$$= 2 \pi ab$$= 2 \pi a \ln ( a + 1 )$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 0 +} {\frac{4 T \left( a \right) - S \left( a \right)}{\pi a ^{2}}} = \lim\limits _{a \rightarrow 0 +} {\frac{2 \ln \left( a + 1 \right)}{a}} = 2$