로그와 적분 함수 보기

[출제의도] 정적분의 여러 가지 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가? ㄱ. 조건 (나)에서 $\displaystyle \ln f ( x ) + 2 \int _{0} ^{x} ( x - t ) f ( t ) dt = 0$ $\displaystyle \ln f ( x ) + 2 x \int _{0} ^{x} f ( t ) dt - 2 \int _{0} ^{x} tf ( t ) dt = 0$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{f' ( x )}{f ( x )} + 2 \int _{0} ^{x} f ( t ) dt + 2 x f ( x ) - 2 x f ( x ) = 0$ $\displaystyle \frac{f' ( x )}{f ( x )} + 2 \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = 0$ $\displaystyle f' ( x ) = - 2 f ( x ) \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$ $\cdots \text{㉠}$ 이때, $x > 0$이고, $f ( x ) > 0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt > 0$ 즉, $f' ( x ) < 0$이므로 함수 $f ( x )$는 감소한다. (참) ㄴ. $\text{㉠}$에 $x = 0$을 대입하면 $f' ( 0 ) = 0$ 또한 $x < 0$일 때, $f ( x ) > 0$이고 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt < 0$이므로 $f' ( x ) > 0$ 따라서 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극대이면서 최댓값을 갖는다. 이 때, 조건 (나)에 $x = 0$을 대입하면 $\ln f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) = e ^{0} = 1$ 즉, 함수 $f ( x )$의 최댓값은 $1$이다. (참) ㄷ. $\text{㉠}$에서 $\displaystyle f' ( x ) = - 2 f ( x ) \int _{0} ^{x} f ( t ) dt = - 2 f ( x ) F ( x )$이고, $\displaystyle F ( x ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$에서 $F' ( x ) = f ( x )$이므로 $f' ( x ) = - 2 F' ( x ) F ( x )$ $f' ( x ) + 2 F' ( x ) F ( x ) = 0$ 그런데 $\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ f ( x ) + \left\{ F ( x ) \right\} ^{2} \right] = f' ( x ) + 2 F ( x ) F' ( x )$이므로 $f ( x ) + \left\{ F ( x ) \right\} = C$ ($C$ 는 상수) 이때, $x = 0$을 대입하면 $f ( 0 ) + \left\{ F ( 0 ) \right\} = 1$이므로 $C = 1$ 즉, $f ( 1 ) + \left\{ F ( 1 ) \right\} = 1$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ. 이다.