로그식의 최솟값

주어진 식을 변형하면 준 식$\displaystyle = \frac{\frac{\log 2}{\log x} + \frac{\log 2}{\log y}}{\frac{\log 2}{\log x + \log y}}$$\displaystyle = \frac{( \log x + \log y ) ^{2}}{\log x \cdot \log y} \cdots$(1) $x > 1 , y > 1$이므로 $\log x > 0 , \log y > 0$ 따라서, 산술기하평균에 의해 $\displaystyle \frac{\log x + \log y}{2} \geq \sqrt{\log x \cdot \log y}$ 이를 이용하면 식 (1)은 $\displaystyle \frac{( \log x + \log y ) ^{2}}{\log x \cdot \log y} \geq \frac{( 2 \sqrt{\log x \cdot \log y} ) ^{2}}{\log x \cdot \log y}$$\displaystyle = \frac{4 \log x \cdot \log x}{\log x \cdot \log y}$$= 4$