로그식 일정 조건

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다. $x ^{5} y ^{3} = 5 ^{15}$이므로 양변에 밑이 5인 로그를 취하면 $\log _{5} x ^{5} y ^{3} = \log _{5} 5 ^{15}$ $5 \log _{5} x + 3 \log _{5} y = 15$ $X = \log _{5} x$, $Y = \log _{5} y$로 놓으면 $5 X + 3 Y = 15$ $\displaystyle Y = - \frac{5}{3} X + 5$이므로 $m \log _{5} x + 15 \log _{5} y = mX + 15 Y$ $\displaystyle = mX + 15 \left( - \frac{5}{3} X + 5 \right)$ $= ( m - 25 ) X + 75$ $x$의 값에 관계없이 $m \log _{5} x + 15 \log _{5} y$의 값이 일정하므로 $X$의 값에 관계없이 $( m - 25 ) X + 75$의 값이 일정하다. 즉 $( m - 25 ) X + 75 = k$($k$는 상수) 가 $X$에 관한 항등식이므로 $m = 25$, $k = 75$ 따라서 구하는 $m$의 값은 $25$이다. [다른풀이] $x ^{5} y ^{3} = 5 ^{15}$이므로 $\displaystyle y ^{3} = \frac{5 ^{15}}{x ^{5}}$ 즉 $\displaystyle y = \left( \frac{5 ^{15}}{x ^{5}} \right) ^{\frac{1}{3}} = \frac{5 ^{5}}{x ^{\frac{5}{3}}}$ $\cdots$㉠ 조건에서 $m \log _{5} x + 15 \log _{5} y$의 값이 일정하므로 $m \log _{5} x + 15 \log _{5} y = k$($k$는 상수)　$\cdots$㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle m \log _{5} x + 15 \log _{5} \frac{5 ^{5}}{x ^{\frac{5}{3}}} = k$ $\displaystyle m \log _{5} x + 15 \left( \log _{5} 5 ^{5} - \log _{5} {x ^{\frac{5}{3}}} \right) = k$ $\displaystyle m \log _{5} x + 15 \left( 5 \log _{5} 5 - \frac{5}{3} \log _{5} {x} \right) = k$ $m \log _{5} x + 75 \log _{5} 5 - 25 \log _{5} {x} = k$ $( m - 25 ) \log _{5} x + 75 - k = 0$ $\cdots$㉢ $x$에 관계없이 ㉢이 성립해야 하므로 $m - 25 = 0$ 따라서 구하는 $m$의 값은 $25$이다.