로그를 포함한 지수방정식의 실근의 곱

$\displaystyle \sqrt{15} x ^{\log _{15} x} = x ^{2}$의 양변에 밑이 $15$인 로그를 취하면 $\displaystyle \log _{15} \sqrt{15} + ( \log _{15} x ) ^{2} = \log _{15} x ^{2}$ $2 ( \log _{15} x ) ^{2} - 4 ( \log _{15} x ) + 1 = 0$ ⋯⋯ ㉠ ㉠은 $\log _{15} x$에 대한 이차방정식이고 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 따라서 주어진 방정식은 두 실근을 갖는다. 이 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\log _{15} \alpha$, $\log _{15} \beta$는 방정식 ㉠의 두 실근이므로 근과 계수와의 관계에서 $\log _{15} \alpha + \log _{15} \beta$$\displaystyle = \frac{4}{2} = 2$ 즉, $\log _{15} \alpha \beta = 2$ ∴ $\alpha \beta = 15 ^{2}$