로그를 취하는 점화식 빈칸

[출제의도] 조건을 만족시키는 일반항을 구할 수 있는가? 모든 항이 양수인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $a _{1} = 10$, $( a _{n + 1} ) ^{n} = 10 ( a _{n} ) ^{n + 1} ( n \geq 1 )$ ⋯⋯㉠ 식 ㉠의 양변에 상용로그를 취하면 $n \log a _{n + 1} = ( n + 1 ) \log a _{n} + 1$ 이다. 양변을 $n ( n + 1 )$로 나누면 $\displaystyle \frac{\log a _{n + 1}}{n + 1} = \frac{\log a _{n}}{n} + \square {\frac{1}{n ( n + 1 )}}$이다. $\displaystyle b _{n} = \frac{\log a _{n}}{n}$이라 하면 $b _{1} = 1$이고 $\displaystyle b _{n + 1} = b _{n} + \square {\frac{1}{n ( n + 1 )}}$이다. $\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \frac{1}{n ( n + 1 )} \right) = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$ $\displaystyle = 1 + 1 - \frac{1}{n} = \frac{2 n - 1}{n}$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 일반항을 구하면 $\displaystyle b _{n} = \square {\frac{2 n - 1}{n}}$이므로 $\displaystyle \log a _{n} = n \times \square {\frac{2 n - 1}{n}} \left( \because b _{n} = \frac{\log a _{n}}{n} \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle a _{n} = 10 ^{n \times \square {\frac{2 n - 1}{n}}}$이다. 따라서 $\displaystyle f ( n ) = \frac{1}{n ( n + 1 )} , g ( n ) = \frac{19}{10}$이다. $\displaystyle \therefore \frac{g ( 10 )}{f ( 4 )} = \frac{\frac{19}{10}}{\frac{1}{20}} = 38$