로그를 취하는 점화식 빈칸

[출제의도] 조건을 만족시키는 일반항 $\left\{ a _{n} \right\}$을 구할 수 있는가? 주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면 $n \log a _{n+1} = ( n + 1 ) \log a _{n} + 1$ 이다. 양변을 $n ( n + 1 )$로 나누면 $\displaystyle \frac{\log a _{n+1}}{n + 1} = \frac{\log a _{n}}{n} + \left( \frac{1}{n ( n + 1 )} \right)$ $\displaystyle b _{n} = \frac{\log a _{n}}{n}$이라 하면 $b _{1} = 1$이고 $\displaystyle b _{n+1} = b _{n} + \left( \frac{1}{n ( n + 1 )} \right)$ 이다. 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 일반항을 구하면 $b _{n}$$\displaystyle = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ $\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$ $\displaystyle = 1 + \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$ $\displaystyle = \left( 2 - \frac{1}{n} \right)$ 이므로 $\displaystyle \log a _{n} = n \times \left( 2 - \frac{1}{n} \right)$ 이다. $\displaystyle \therefore f ( n ) = \frac{1}{n ( n + 1 )}$이고 $\displaystyle g ( n ) = 2 - \frac{1}{n}$이므로 $\displaystyle \frac{g ( 10 )}{f ( 4 )} = \frac{2 - \frac{1}{10}}{\frac{1}{4 \times 5}} = 38$