대수지수함수와 로그함수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

로그함수와 역함수 반복

문제

그림과 같이 함수 y=log⁡2(x−1)y = \log _{2} \left( x - 1 \right)과 그 역함수 y=g(x)y = g ( x )에 대하여 함수 y=log⁡2(x−1)y = \log _{2} \left( x - 1 \right)의 그래프가 xx축과 만나는 점을 A1(a,0)\mathrm{A} _{1} \left( \mathit{a} , 0 \right), 점 A1\mathrm{A} _{1}을 지나고 yy축에 평행한 직선이 함수 y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프와 만나는 점을 A2(a,b)\mathrm{A} _{2} \left( \mathit{a} , b \right)라 하자. 점 A2\mathrm{A} _{2}를 지나고 xx축에 평행한 직선이 함수 y=log⁡2(x−1)y = \log _{2} \left( x - 1 \right)의 그래프와 만나는 점을 A3(c,b)\mathrm{A} _{3} \left( \mathit{c} , b \right), 점 A3\mathrm{A} _{3}을 지나고 yy축에 평행한 직선이 함수 y=g(x)y = g ( x )의 그래프와 만나는 점을 A4(c,d)\mathrm{A} _{4} \left( \mathit{c} , d \right)라 하자. 이때, log⁡(b−1)(c−1)(d−1)\log _{( b - 1 )} \left( c - 1 \right) \left( d - 1 \right)의 값을 구하시오. [4점]

y=g(x)y = g ( x ) y=log⁡2(x−1)y = \log _{2} \left( x - 1 \right)

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19

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 함수 y=log⁡2(x−1)y = \log _{2} \left( x - 1 \right)의 역함수 g(x)=2x+1g ( x ) = 2 ^{x} + 1이다. 역함수 y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프가 점 (2,b)\left( 2 , b \right)를 지나므로 b=g(2)=22+1=5b = g ( 2 ) = 2 ^{2} + 1 = 5 함수 y=log⁡2(x−1)y = \log _{2} \left( x - 1 \right)의 그래프가 점 (c,5)\left( c , 5 \right)를 지나므로 5=log⁡2(c−1),c−1=255 = \log _{2} \left( c - 1 \right) , c - 1 = 2 ^{5} c=25+1=33c = 2 ^{5} + 1 = 33 역함수 y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프가 점 (33,d)\left( 33 , d \right)를 지나므로 d=g(33)=233+1d = g ( 33 ) = 2 ^{33} + 1 따라서 log⁡(b−1)(c−1)(d−1)=log⁡4(25⋅233)\begin{aligned} \log _{( b - 1 )} \left( c - 1 \right) \left( d - 1 \right) & = \log _{4} \left( 2 ^{5} \cdot 2 ^{33} \right) \end{aligned}=log⁡4419= \log _{4} 4 ^{19}=19= 19

태그

#역함수#로그함수

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