대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수와 삼각형 넓이

문제

a>1a > 1인 실수 aa에 대하여 두 함수 f(x)f \left( x \right)=12log⁡a(x−1)−2\displaystyle = \frac{1}{2} \log _{a} \left( x - 1 \right) - 2, g(x)=log⁡1a(x−2)+1\displaystyle g \left( x \right) = \log _{\frac{1}{a}} \left( x - 2 \right) + 1 이 있다. 직선 yy=−2= \mathit{-} 2와 함수 yy=f(x)= f \left( x \right)의 그래프가 만나는 점을 A\mathrm{A}라 하고, 직선 xx=10= 10과 두 함수 yy=f(x)= f \left( x \right), yy=g(x)= g \left( x \right)의 그래프가 만나는 점을 각각 B,C\mathrm{B} , C라 하자. 삼각형 ACB\mathrm{ACB}의 넓이가 2828일 때, a10a ^{10}의 값은? [4점] ①1515②1818③2121④2424⑤2727

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④

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 활용하여 문제해결하기 직선 yy=−2= \mathit{-} 2와 함수 yy=f(x)= f \left( x \right)의 그래프가 만나는 점이 A\mathrm{A}이므로 −2- 2=12log⁡a(x−1)−2\displaystyle = \frac{1}{2} \log _{a} \left( x - 1 \right) - 2에서 xx=2= 2 A(2,−2)\mathrm{A} \mathit{\left( 2 , - 2 \right)} B(10,12log⁡a9−2)\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( 10 , \frac{1}{2} \log _{a} 9 - 2 \right)}, C(10,−log⁡a8+1)\mathrm{C} \mathit{\left( 10 , - \log _{a} 8 + 1 \right)}이고, 점 A\mathrm{A}와 직선 xx=10= 10 사이의 거리는 88이므로 삼각형 ACB\mathrm{ACB}의 넓이는 12×8×{(12log⁡a9−2)−(−log⁡a8+1)}\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times \left\{ \left( \frac{1}{2} \log _{a} 9 - 2 \right) - \left( - \log _{a} 8 + 1 \right) \right\} =4×(log⁡a24−3)= 4 \times \left( \log _{a} 24 - 3 \right)=28= 28 log⁡a24\log _{a} 24=10= 10 따라서 a10a ^{10}=24= 24

태그

#로그함수 그래프#넓이

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