로그함수와 삼각형 넓이

두 삼각형 ${\mathrm{OCA}}$, ${\mathrm{ACB}}$의 넓이가 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{AB}}}$이다. 점 ${\mathrm{A}}$는 선분 ${\mathrm{OB}}$의 중점이고 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표가 $t$이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{t}{2}$이다. 직선 ${\mathrm{AB}}$는 점 ${\mathrm{O}}$를 지나므로 두 직선 ${\mathrm{OA}}$, ${\mathrm{OB}}$의 기울기가 같다. 그러므로 $\displaystyle \frac{\log _{a} \frac{t}{2} - 0}{\frac{t}{2} - 0} = \frac{\log _{a} t - 0}{t - 0}$에서 $\log _{a} t = \log _{a} 4$, $t = 4$ 점 ${\mathrm{A}}$는 두 곡선 $y = \log _{a} x$, $y = - 2 \log _{a} x + k$가 만나는 점이므로 $\log _{a} 2 = - 2 \log _{a} 2 + k$에서 $k = 3 \log _{a} 2$ 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $\left( 4 , 2 \log _{a} 2 \right)$, 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\left( 4 , - \log _{a} 2 \right)$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 \log _{a} 2 - \left( - \log _{a} 2 \right) = 3 \log _{a} 2$ 삼각형 ${\mathrm{ACB}}$의 넓이가 $2$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times 2 = 3 \log _{a} 2 = 2$에서 $\displaystyle a = 2 \sqrt{2}$, $k = 2$ 따라서 $\displaystyle a \times k \times t = 2 \sqrt{2} \times 2 \times 4 = 16 \sqrt{2}$