미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수와 내분점 극한

문제

22이상의 자연수 nn에 대하여 함수 y=log⁡3xy = \log _{3} x의 그래프 위의 xx좌표가 1n\displaystyle \frac{1}{n}인 점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}이라 하자. 그래프 위의 점 Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}과 xx축 위의 점 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}은 선분 AnBn{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}과 xx축의 교점이다. (나) AnCn‾:CnBn‾=1:2\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}} : \overline{\mathrm{C} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}} = 1 : 2

점 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}의 xx좌표를 xnx _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞xnn2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x _{n}}{n ^{2}}}의 값은? [4점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④56\displaystyle \frac{5}{6}⑤11

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①

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해설

An\mathrm{A} _{\mathit{n}}의 좌표는 An(1n,log⁡31n)\displaystyle \mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathit{\left( \frac{1}{n} , \log _{3} \frac{1}{n} \right)} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}의 좌표를 (x,y)( x , y )라 하면 Cn(2n+x3,2log⁡31n+y3)\displaystyle \mathrm{C} _{\mathit{n}} \left( \frac{\frac{\mathit{2}}{n} + x}{3} , \frac{2 \log _{3} \frac{1}{n} + y}{3} \right) 이고 2log⁡31n+y=0\displaystyle 2 \log _{3} \frac{1}{n} + y = 0 에서 y=−2log⁡31n=log⁡3n2\displaystyle y = - 2 \log _{3} \frac{1}{n} = \log _{3} n ^{2} ∴bn(n2,log⁡3n2)\therefore b _{n} ( n ^{2} , \log _{3} n ^{2} ) 따라서 xn=bn+2n3=n2+2n3=n3+23n\displaystyle x _{n} = \frac{b _{n} + \frac{2}{n}}{3} = \frac{n ^{2} + \frac{2}{n}}{3} = \frac{n ^{3} + 2}{3 n} lim⁡n→∞xnn2=lim⁡n→∞n3+23n3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x _{n}}{n ^{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ^{3} + 2}{3 n ^{3}}} =13\displaystyle = \frac{1}{3}

태그

#로그함수#내분점#수열의 극한

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