로그함수와 코사인함수 그래프의 교점 개수

구하는 실근의 개수는 두 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{3} \log _{2} x$와 $y = \cos 3 \pi x$의 그래프의 교점의 개수와 같다. $\displaystyle \frac{1}{3} \log _{2} x = 1$에서 $x = 8$, $\displaystyle \frac{1}{3} \log _{2} x = - 1$에서 $\displaystyle x = \frac{1}{8}$ $\displaystyle \frac{1}{3} \log _{2} x = 0$에서 $x = 1$이다. $\displaystyle \frac{2 \pi}{3 \pi} = \frac{2}{3}$이므로 $y = \cos 3 \pi x$의 주기는 $\displaystyle \frac{2}{3}$이고 $\displaystyle \frac{8}{\frac{2}{3}} = 12$이므로 구간 $[ 0 , 8 ]$에서 한주기의 $\cos 3 \pi x$의 그래프가 총 $12$개 그려진다. 이를 이용해서 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

위 그림과 같이 $n = 1$, $2$, …, $24$일 때, 개구간 $\displaystyle \left( \frac{n - 1}{3} , \frac{n}{3} \right)$에서 두 그래프가 하나의 교점을 갖고 점 $( 8 , 1 )$에서 두 그래프가 만나며 $x > 8$일 때, 두 그래프는 만나지 않음을 알 수 있다. 따라서 구하는 실근 $x$의 개수는 $24 + 1 = 25$