대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그함수의 역함수 교점

문제

두 함수 $y = \log _{4} ( x + p ) + q$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} ( x + p ) + q$ 의 역함수를 각각 $f ( x )$ , $g ( x )$ 라 한다. 두 함수 $y = f ( x )$ , $y = g ( x )$ 의 그래프가 점 $( 1 , 4 )$ 에서 만나도록 두 실수 $p$ , $q$ 의 값을 정할 때, $p ^{2} + q ^{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

두 함수 $y = \log _{4} ( x + p ) + q$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} ( x + p ) + q$ 의 그래프는 모두 점 $( 4 , 1 )$ 을 지나므로 $1 = \log _{4} ( 4 + p ) + q$ , $\displaystyle 1 = \log _{\frac{1}{2}} ( 4 + p ) + q$ $\displaystyle \log _{4} ( 4 + p ) = \log _{\frac{1}{2}} ( 4 + p )$ $4 + p = 1$ 에서 $p = - 3$ , $q = 1$ ∴ $p ^{2} + q ^{2} = 10$

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