대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수 역함수 보기

문제

로그함수 f(x)=log⁡2x\displaystyle f ( x ) = \log _{\sqrt{2}} x의 역함수를 y=g(x)y = g ( x )라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. g(6)=8g ( 6 ) = 8 ㄴ. f(2)f ( 2 ), f(4)f ( 4 ), f(8)f ( 8 )은 이 순서대로 등차수열이다. ㄷ. ∑k=1nf(2k)=110\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} f ( 2 ^{k} ) = 110을 만족시키는 자연수 nn에 대하여 ∑k=1ng(2k)=2046\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} g ( 2 k ) = 2046이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 로그함수를 이용하여 추론하기 g(x)=(2)x\displaystyle g ( x ) = \left( \sqrt{2} \right) ^{x} ㄱ. g(6)=8g ( 6 ) = 8 (참) ㄴ. f(2)=2f ( 2 ) = 2, f(4)=4f ( 4 ) = 4, f(8)=6f ( 8 ) = 6 (참) ㄷ. ∑k=1nf(2k)=∑k=1nlog⁡22k=∑k=1n2k\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 2 ^{k} \right) = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \log _{\sqrt{2}} 2 ^{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 k=2⋅n(n+1)2=110\displaystyle = 2 \cdot \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} = 110 ∴ n=10n = 10 ∑k=1ng(2k)=∑k=110(2)2k=∑k=1102k\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} g \left( 2 k \right) = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( \sqrt{2} \right) ^{2 k} = \sum\limits _{k = 1} ^{10} 2 ^{k} =2(210−1)2−1=2046\displaystyle = \frac{2 \left( 2 ^{10} - 1 \right)}{2 - 1} = 2046 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

태그

#역함수#수열의 합

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