대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그함수 성질 보기

문제

함수 f(x)=log⁡2xf ( x ) = \log _{2} x일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, nn은 자연수이다.) [3점]

< 보 기 >
ㄱ. x>1x > 1일 때, f(f(x))>0f ( f ( x ) ) > 0이다. ㄴ. x>0x > 0일 때, f(x2)=f(x)−1\displaystyle f \left( \frac{x}{2} \right) = f ( x ) - 1이다. ㄷ. 수열 {f(8n)}\left\{ f ( 8 ^{n} ) \right\}은 등차수열이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. x>1x > 1일 때, f(x)>0f ( x ) > 0이다. 따라서 0<f(x)<10 < f ( x ) < 1이면 f(f(x))<0f ( f ( x ) ) < 0이고 f(x)>1f ( x ) > 1이면 f(f(x))>0f ( f ( x ) ) > 0이다. (거짓) ㄴ. f(x2)=log⁡2x2\displaystyle f \left( \frac{x}{2} \right) = \log _{2} \frac{x}{2}=log⁡2x−log⁡22= \log _{2} x - \log _{2} 2 =log⁡2x−1=f(x)−1= \log _{2} x - 1 = f ( x ) - 1(참) ㄷ. f(8n)=log⁡28n=log⁡2(23)nf ( 8 ^{n} ) = \log _{2} 8 ^{n} = \log _{2} ( 2 ^{3} ) ^{n} =log⁡2(2)3n=3n= \log _{2} ( 2 ) ^{3n} = 3 n(참)

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