로그함수 사이 자연수 개수의 합

자연수 $n$에 대하여 직선 $y = n$이 두 로그함수 $y = \log _{2} x$, $y = \log _{3} x$의 그래프와 만나는 점의 $x$좌표를 $a _{n} , b _{n}$이라 하자. $a _{n} \leq p \leq b _{n}$을 만족시키는 자연수 $p$의 개수를 $c _{n}$이라 할 때 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} c _{k}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{1}{2} ( 3 ^{10} - 2 ^{11} + 21 )$②$\displaystyle \frac{1}{2} ( 3 ^{11} - 2 ^{12} + 21 )$③$\displaystyle \frac{1}{2} ( 3 ^{11} - 2 ^{11} + 21 )$④$\displaystyle \frac{1}{2} ( 3 ^{11} + 2 ^{11} - 21 )$⑤$\displaystyle \frac{1}{2} ( 3 ^{11} + 2 ^{12} - 21 )$