로그함수 접선

$f \left( x \right) = \ln \left( x + a \right)$에서 $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{1}{x + a}$ 접점의 좌표를 $\left( t , \ln \left( t + a \right) \right)$라 하면 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{e}$이므로 $\displaystyle f' \left( t \right) = \frac{1}{e}$에서 $\displaystyle \frac{1}{t + a} = \frac{1}{e}$, $t + a = e$ $\therefore$ $t = e - a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 즉 접점의 좌표는 $\left( t , 1 \right)$이고 이 점은 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{e} x + 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle 1 = \frac{1}{e} t + 1$ $\therefore$ $t = 0$ $t = 0$을 ㉠에 대입하면 $0 = e - a$ $\therefore$ $a = e$ 따라서 $f \left( x \right) = \ln \left( x + e \right)$이므로 $f \left( e \right) = \ln \left( e + e \right) = \ln \left( 2 e \right) = 1 + \ln 2$