로그함수 점근선

[출제의도] 로그함수의 점근선을 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가 함수 $y = \log _{2} ( x - a )$의 그래프의 점근선은 직선 $x = a$이다. 곡선 $\displaystyle y = \log _{2} \frac{x}{4}$와 직선 $x = a$가 만나는 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( a , \log _{2} \frac{a}{4} \right)$ 곡선 $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$와 직선 $x = a$가 만나는 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \left( a , \log _{\frac{1}{2}} a \right)$ 한편, $a > 2$에서 $\displaystyle \log _{2} \frac{a}{4} > \log _{2} \frac{2}{4} = \mathit{-} 1$, $\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} a < \log _{\frac{1}{2}} 2 = \mathit{-} 1$ 이므로 $\displaystyle \log _{2} \frac{a}{4} > \log _{\frac{1}{2}} a$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \log _{2} \frac{a}{4} - \log _{\frac{1}{2}} a$ $= \left( \log _{2} a - 2 \right) + \log _{2} a$ $= 2 \log _{2} a - 2$ 이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4$ 이므로 $2 \log _{2} a - 2 = 4$ $\log _{2} a = 3$ 따라서 $a = 2 ^{3} = 8$