미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수 회전체 부피

문제

곡선 y=5ln⁡x\displaystyle y = 5 \sqrt{\ln x} 와 xx축 및 직선 x=ex = e로 둘러싸인 부분을 xx축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피를 VV라 할 때, Vπ\displaystyle \frac{V}{\pi}의 값을 구하시오. [4점]

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25

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해설

y=5ln⁡x\displaystyle y = 5 \sqrt{\ln x}에서 ln⁡x≥0\ln x \geq 0이어야 하므로 x≥1x \geq 1 ∴V=∫1e(πy2)dx\displaystyle \therefore V = \int _{1} ^{e} ( \pi y ^{2} ) dx =25π∫1eln⁡xdx\displaystyle = 25 \pi \int _{1} ^{e} \ln x dx =25π[xln⁡x−x]1e= 25 \pi [ x \ln x - x ] _{1} ^{e} =25π×{(e−e)−(0−1)}=25π= 25 \pi \times \left\{ ( e - e ) - ( 0 - 1 ) \right\} = 25 \pi ∴Vπ=25\displaystyle \therefore \frac{V}{\pi} = 25

태그

#회전체의 부피#부분적분

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