미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그함수 그래프 삼각형 넓이비의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 직선 y=ny = n이 두 함수 y=log⁡2xy = \log _{2} x, y=log⁡3xy = \log _{3} x의 그래프와 만나는 점을 각각 An{\mathrm{A}} _{n}, Bn{\mathrm{B}} _{n}이라 하자. 삼각형 AnBn−1Bn{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n-1} {\mathrm{B}} _{n}과 삼각형 AnAn−1Bn−1{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{A}} _{n-1} {\mathrm{B}} _{n-1}의 넓이를 각각 SnS _{n}, TnT _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞SnTn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S _{n}}{T _{n}}의 값은? [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②22③52\displaystyle \frac{5}{2}④33⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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④

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해설

점 An{\mathrm{A}} _{n}, Bn{\mathrm{B}} _{n}의 xx좌표는 각각 2n2 ^{n}, 3n3 ^{n}이므로 SnS _{n}=3n−2n2\displaystyle = \frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{2}, TnT _{n}=3n−1−2n−12\displaystyle = \frac{3 ^{n-1} - 2 ^{n-1}}{2} ∴ lim⁡n→∞SnTn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S _{n}}{T _{n}}=lim⁡n→∞3n−2n3n−1−2n−1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{3 ^{n-1} - 2 ^{n-1}}}=lim⁡n→∞1−(23)n13−13(23)n−1\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{n-1}}=3= 3

태그

#로그함수#삼각형의 넓이#수열의 극한

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