로그함수 그래프 조건

[출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \log _{\frac{1}{9}} a - \log _{3} a = - \frac{3}{2} \mathrm{\log} _{3} \mathit{a}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{SR}}} = \log _{3} b - \log _{\frac{1}{9}} b = \frac{3}{2} \mathrm{\log} _{3} \mathit{b}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} : {\overline{\mathrm{SR}}} = 2 : 1$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 2 {\overline{\mathrm{SR}}}$이므로 $\displaystyle - \frac{3}{2} \log _{3} a = 2 \times \frac{3}{2} \mathrm{\log} _{3} \mathit{b}$ $\log _{3} a + 2 \mathrm{\log} _{3} \mathit{b} = 0$ $\therefore$ $a b ^{2} = 1$ $\cdots$ ㉠ 선분 $\mathrm{PR}$의 중점의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{9}{8}$이므로 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = \frac{9}{8}$ $\cdots$ ㉡ ㉡에서 $\displaystyle a = \frac{9}{4} - b$를 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \left( \frac{9}{4} - b \right) b ^{2} = 1$ $4 b ^{3} - 9 b ^{2} + 4 = 0$ $( b - 2 ) ( 4 b ^{2} - b - 2 ) = 0$ $b = 2$ 또는 $\displaystyle b = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$ $b > 1$이므로 $b = 2$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$, $b = 2$이므로 $40 ( b - a ) = 70$