대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그함수 최솟값

문제

함수 f(x)=log⁡a(3x+1)+2f \left( x \right) = \log _{a} \left( 3 x + 1 \right) + 2가 닫힌구간 [0,5]\left[ 0 , 5 \right]에서 최솟값 23\displaystyle \frac{2}{3}를 가질 때, aa의 값은? (단, aa는 11이 아닌 양의 상수이다.) [3점] ①132\displaystyle \frac{1}{32}②18\displaystyle \frac{1}{8}③12\displaystyle \frac{1}{2}④22⑤88

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②

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기 a>1a > 1이라 하면 닫힌구간 [0,5]\left[ 0 , 5 \right]에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 최솟값은 f(0)=2≠23\displaystyle f \left( 0 \right) = 2 \ne \frac{2}{3}이므로 0<a<10 < a < 1 그러므로 닫힌구간 [0,5]\left[ 0 , 5 \right]에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 최솟값은 f(5)=log⁡a16+2f \left( 5 \right) = \log _{a} 16 + 2 log⁡a16+2=23\displaystyle \log _{a} 16 + 2 = \frac{2}{3}에서 4log⁡a2=−43\displaystyle 4 \log _{a} 2 = \mathit{-} \frac{4}{3}, a−13=2\displaystyle a ^{- \frac{1}{3}} = 2 따라서 a=2−3=18\displaystyle a = 2 ^{- 3} = \frac{1}{8}

태그

#로그함수#최대최소

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