로그곡선과 역함수

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = {\overline{OB}}$이고, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 $y = x$위의 점이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{A} ( \mathit{t} , t )$, $\mathrm{B} ( \mathit{2} t , 2 t )$이다. $y = \log _{2} kt$에 점 $( \mathit{t} , t )$, $( \mathit{2} t , 2 t )$를 대입하면 $t = \log _{2} kt$ $\cdots \cdots$ ㉠ $2 t = \log _{2} 2 kt$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠$\times 2$를 하면 $2 t = 2 \log _{2} kt$ $\therefore$ $2 t = \log _{2} \left( kt \right) ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡과 ㉢를 연립하면 $\log _{2} 2 kt = \log _{2} \left( kt \right) ^{2}$, $\left( kt \right) ^{2} = 2 kt$, $kt = 2$ $\left( \because kt > 0 \right)$ ㉠에서 $kt = 2$이므로 $t = \log _{2} 2 = 1$ $\therefore$ $k = 2$ $\therefore$ $f \left( x \right) = \log _{2} 2 x$ $g \left( x \right)$는 $f \left( x \right)$의 역함수이므로 $g \left( 5 \right) = a$로 놓으면 $f \left( a \right) = 5$이므로 $\log _{2} 2 a = 5$, $2 a = 2 ^{5}$ $\therefore$ $a = 16$ 따라서 $g \left( 5 \right) = 16$