로그곡선과 원

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 로그함수가 포함된 부등식 문제 해결하기 $x$의 값이 증가할 때 $f \left( x \right)$의 값은 감소하므로 조건 (가)와 (나)를 만족하기 위해서는 두 교점이 제$2$사분면과 제$4$사분면에 각각 한 개씩 존재하야 한다.

따라서 $- 8 < f \left( 0 \right) < 8$, $f \left( - 8 \right) > 0$, $f \left( 8 \right) < 0$ 이다. (ⅰ) $- 8 < f \left( 0 \right) < 8$ $f \left( 0 \right)$$\displaystyle = 2 \log _{\frac{1}{2}} \left( - 7 + k \right) + 2$이므로 $\displaystyle - 8 < 2 \log _{\frac{1}{2}} \left( - 7 + k \right) + 2 < 8$에서 $\displaystyle \frac{57}{8} < k < 39$이다. (ⅱ) $f \left( - 8 \right) > 0$ $f \left( - 8 \right)$$\displaystyle = 2 \log _{\frac{1}{2}} \left( - 15 + k \right) + 2$이므로 $\displaystyle 2 \log _{\frac{1}{2}} \left( - 15 + k \right) + 2 > 0$에서 $k < 17$이다. (ⅲ) $f \left( 8 \right) < 0$ $f \left( 8 \right)$$\displaystyle = 2 \log _{\frac{1}{2}} \left( 1 + k \right) + 2$이므로 $\displaystyle 2 \log _{\frac{1}{2}} \left( 1 + k \right) + 2 < 0$에서 $k > 1$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서 $\displaystyle \frac{57}{8} < k < 17$이다. 따라서 $k$의 최댓값 $M = 16$, 최솟값 $m = 8$이므로 $M + m = 24$이다.