로그곡선과 쌍곡선

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 명제 추론하기 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{x}$, $g \left( x \right) = \log _{a} x$라 하자. ㄱ. 점 $\mathrm{A} ( \mathit{p} , q )$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle q = \frac{1}{p}$, 즉 $pq = 1$ (참) ㄴ. $f \left( x \right) > g \left( x \right)$이면 $0 < x < p$이고 $f \left( x \right) < g \left( x \right)$이면 $x > p$이다.

$y = g \left( x \right)$ $y = f \left( x \right)$ $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle f \left( \sqrt{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$이고 $a = 2$이므로 $\displaystyle g \left( \sqrt{2} \right) = \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle f \left( \sqrt{2} \right) > g \left( \sqrt{2} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle p > \sqrt{2}$ (참) ㄷ. 점 $\mathrm{B} \mathit{\left( p + q , 0 \right)}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이$S \left( p \right)$는 $\displaystyle S \left( p \right) = \frac{1}{2} \times \left( p + q \right) \times q = \frac{pq}{2} + \frac{q ^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 p ^{2}}$이다. 한편, $\displaystyle f \left( \sqrt{a} \right) = \frac{1}{\sqrt{a}}$이고 $\displaystyle g \left( \sqrt{a} \right) = \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle 1 < \sqrt{a} < 2$이므로 $\displaystyle f \left( \sqrt{a} \right) > g \left( \sqrt{a} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle p > \sqrt{a}$이고, $\displaystyle \frac{1}{p} < \frac{1}{\sqrt{a}}$이다. 그러므로 $\displaystyle S \left( p \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 p ^{2}} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2 a} = \frac{a + 1}{2 a}$ (참)