로그곡선과 사각형 넓이

함수 $y = \log _{2} x$의 역함수는 $y = 2 ^{x}$이고 두 곡선은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.

곡선 $y = \log _{2} x$ 위의 서로 다른 두 점 ${\mathrm{A}} \left( a , \log _{2} a \right)$, ${\mathrm{B}} \left( b , \log _{2} b \right)$라 하자. 점 ${\mathrm{A}} \left( a , \log _{2} a \right)$에서 직선 $y = x$에 내린 수선의 발이 ${\mathrm{P}}$이므로 직선 ${\mathrm{AP}}$의 기울기는 $- 1$이다. 직선 ${\mathrm{AP}}$의 방정식은 $y - \log _{2} a = - \left( x - a \right)$ $y = - x + a + \log _{2} a$ 따라서 직선 ${\mathrm{AP}}$의 $y$절편은 $a + \log _{2} a$ 점 ${\mathrm{B}} \left( b , \log _{2} b \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점이 ${\mathrm{Q}}$이므로 ${\mathrm{Q}} \left( \log _{2} b , b \right)$ 직선 ${\mathrm{BQ}}$는 두 점 ${\mathrm{B}} \left( b , \log _{2} b \right)$, ${\mathrm{Q}} \left( \log _{2} b , b \right)$를 지나므로 기울기는 $\displaystyle \frac{b - \log _{2} b}{\log _{2} b - b} = - 1$ 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 방정식은 $y - \log _{2} b = - \left( x - b \right)$ $y = - x + b + \log _{2} b$ 따라서 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 $y$절편은 $b + \log _{2} b$ 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \left( a + \log _{2} a \right) - \left( b + \log _{2} b \right) = \frac{13}{2}$ $\displaystyle \left( a - b \right) + \left( \log _{2} a - \log _{2} b \right) = \frac{13}{2}$ $\displaystyle \left( a - b \right) + \log _{2} \frac{a}{b} = \frac{13}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 직선 ${\mathrm{AB}}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{6}{7}$이므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} a - \log _{2} b}{a - b} = \frac{6}{7}$ $\displaystyle \log _{2} a - \log _{2} b = \frac{6}{7} \left( a - b \right)$ $\displaystyle \log _{2} \frac{a}{b} = \frac{6}{7} \left( a - b \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \left( a - b \right) + \frac{6}{7} \left( a - b \right) = \frac{13}{2}$ $\displaystyle a - b = \frac{7}{2}$ 이것을 다시 ㉡에 대입하면 $\displaystyle \log _{2} \frac{a}{b} = \frac{6}{7} \times \frac{7}{2} = 3$, $\displaystyle \frac{a}{b} = 2 ^{3} = 8$ $\therefore$ $a = 8 b$ $\displaystyle a - b = 8 b - b = 7 b = \frac{7}{2}$에서 $\displaystyle b = \frac{1}{2}$, $\displaystyle a = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ 따라서 두 점의 좌표는 $\mathrm{A} \mathit{\left( 4 , 2 \right)}$, $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \frac{1}{2} , - 1 \right)}$ 점 ${\mathrm{P}}$는 직선 ${\mathrm{AP}}$와 직선 $y = x$의 교점이고 직선 ${\mathrm{AP}}$의 방정식은 $y = - x + 4 + 2$, 즉 $y = - x + 6$이므로 $x = - x + 6$, $x = 3$ $\therefore$ ${\mathrm{P}} \left( 3 , 3 \right)$ 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( - 1 , \frac{1}{2} \right)}$ 직선 ${\mathrm{AP}}$와 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 기울기는 모두 $- 1$이므로 두 직선은 평행하므로 사각형 ${\mathrm{APQB}}$는 사다리꼴이다. 선분 ${\mathrm{AP}}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left( 4 - 3 \right) ^{2} + \left( 2 - 3 \right) ^{2}} = \sqrt{1 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}} = \sqrt{2}$ 선분 ${\mathrm{BQ}}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{\left( \frac{1}{2} - \left( - 1 \right) \right) ^{2} + \left( - 1 - \frac{1}{2} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 사다리꼴의 높이는 평행한 두 직선 ${\mathrm{AP}}$와 ${\mathrm{BQ}}$ 사이의 거리와 같다. 직선 ${\mathrm{AP}}$의 방정식은 $y = - x + 6$, $x + y - 6 = 0$ 직선 ${\mathrm{BQ}}$의 방정식은 $\displaystyle y = - x - \frac{1}{2}$, $\displaystyle x + y + \frac{1}{2} = 0$ 두 직선 사이의 거리를 $h$라 하면 직선 $x + y - 6 = 0$ 위의 한 점 ${\mathrm{A}} \left( 4 , 2 \right)$와 직선 $\displaystyle x + y + \frac{1}{2} = 0$ 사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle h = \frac{\left| 4 + 2 + \frac{1}{2} \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{\left| \frac{13}{2} \right|}{\sqrt{2}} = \frac{13}{2 \sqrt{2}}$ 사각형 ${\mathrm{APQB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{BQ}}} \right) \times h$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right) \times \frac{13}{2 \sqrt{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{5 \sqrt{2}}{2} \times \frac{13}{2 \sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{65}{8}$ 따라서 $p = 8$, $q = 65$이므로 $p + q = 8 + 65 = 73$