대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선과 넓이

문제

그림과 같이 곡선 y=log⁡4xy = \log _{4} x 위의 점 A\mathrm{A}와 곡선 y=−log⁡4(x+1)y = \mathit{-} \log _{4} \left( x + 1 \right) 위의 점 B\mathrm{B}가 있다. 점 A\mathrm{A}의 yy좌표가 11이고, xx축이 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 이등분할 때, 선분 OB\mathrm{OB}의 길이는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점]

y=log⁡4xy = \log _{4} x y=−log⁡4(x+1)y = \mathit{-} \log _{4} \left( x + 1 \right)

①6\displaystyle \sqrt{6}②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③10\displaystyle \sqrt{10}④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤14\displaystyle \sqrt{14}

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③

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기 곡선 y=log⁡4xy = \log _{4} x 위의 점 A\mathrm{A}의 yy좌표가 11이므로 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (4,1)\left( 4 , 1 \right) 선분 AB\mathrm{AB}와 xx축이 만나는 점을 C\mathrm{C}라 하면 xx축이 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 이등분하므로 점 C\mathrm{C}는 선분 AB\mathrm{AB}의 중점이다. 점 B\mathrm{B}의 yy좌표는 −1- 1이고 점 B\mathrm{B}는 곡선 y=−log⁡4(x+1)y = \mathit{-} \log _{4} \left( x + 1 \right) 위의 점이므로 점 B\mathrm{B}의 좌표는 (3,−1)\left( 3 , - 1 \right) 따라서 OB‾=(3−0)2+(−1−0)2=10\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = \sqrt{\left( 3 - 0 \right) ^{2} + \left( - 1 - 0 \right) ^{2}} = \sqrt{10}

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#로그함수의 그래프#넓이

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