로그곡선과 정사각형

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{A}$에서 내린 수선의 발을 점 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{B}$에서 내린 수선의 발을 점 $\mathrm{D}$라 하자.

$y = \log _{2} x$

$\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \mathrm{\overline{QB}}$, $\angle \mathrm{CAQ} = \angle DQB$, $\angle \mathrm{CQA} = \angle DBQ$이므로 삼각형 $\mathrm{ACQ}$와 삼각형 $\mathrm{QDB}$는 합동이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathrm{\overline{QD}} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \mathrm{\overline{DB}} = \mathit{q} - 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \mathit{q} + \frac{1}{2} , q - 2 \right)$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점과 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점이 일치하므로 $\displaystyle 2 + q + \frac{1}{2} = p + q$, $\therefore$ $\displaystyle p = \frac{5}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2} + q - 2 = \log _{2} p$, $\therefore$ $\displaystyle q = \log _{2} {\frac{5}{2}} + \frac{3}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle p + q = \frac{5}{2} + \log _{2} \frac{5}{2} + \frac{3}{2}$$= \log _{2} 40$ 따라서 $2 ^{p+q} = 40$