로그곡선 원 정삼각형

[출제의도] 지수함수를 이용하여 수학 내적문제 해결하기 점 $\mathrm{B} \mathit{(} m , a ^{m} )$라 하면 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a ^{m} , m )$ 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$는 원 위의 점이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{8}$인 원에 내접하는 정삼각형의 무게중심이 원점과 일치하므로 정삼각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{6}$ $\displaystyle {\begin{cases} m ^{2} + a ^{2 m} = 8 \cdots \text{㉠} \\ \sqrt{2 ( a ^{m} - m ) ^{2}} = 2 \sqrt{6} \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ $\text{㉡}$에서 $\displaystyle a ^{m} - m = \pm 2 \sqrt{3}$ $a ^{m} - m > 0$이므로 $\displaystyle a ^{m} - m = 2 \sqrt{3} \cdots \text{㉢}$ $\text{㉠}$에 $\text{㉢}$을 대입하면 $\displaystyle a ^{2 m} + ( a ^{m} - 2 \sqrt{3} ) ^{2} = 8$ $\displaystyle a ^{2 m} - 2 \sqrt{3} a ^{m} + 2 = 0$ ∴ $\displaystyle a ^{m} = 1 + \sqrt{3}$$( a ^{m} > 1 )$ $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $\displaystyle 1 + \sqrt{3} = p + \sqrt{q}$ $\therefore$$p = 1$, $q = 3$ 따라서 $p + q = 4$