대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그곡선 위 점과 직선 거리

문제

그림과 같이 곡선 y=log⁡2xy = \log _{2} x위의 한 점 P(a,log⁡2a)\mathrm{P} \mathit{(} a , \log _{2} a )에서 xx축에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 한다. 점 A(1,0)\mathrm{A} ( 1 , 0 )에 대하여 AH‾=PH‾\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \overline{PH}일 때, 점 P\mathrm{P}에서 직선 y=xy = x까지의 거리는? (단, a>1a > 1이다.) [3점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}④11⑤52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}

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②

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해설

AH‾=a−1\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = a - 1, PH‾=log⁡2a\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = \log _{2} a이고, AH‾=PH‾\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \overline{PH}이므로 a−1=log⁡2aa - 1 = \log _{2} a ∴ a−log⁡2a=1a - \log _{2} a = 1 따라서 점 P\mathrm{P}에서 직선 y=xy = x 까지의 거리는 ∣a−log⁡2a∣1+1=12=22\displaystyle \frac{| a - \log _{2} a |}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

태그

#로그함수#점과 직선 거리

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