로그곡선 선분 길이 합

[출제의도] 등차수열과 등비수열을 활용하여 문제해결하기 두 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표를 각각 $a _{n}$, $b _{n}$이라 하면 $2 , a _{1} , a _{2} , \cdots , a _{7} , 2 ^{9}$은 등차수열이므로 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{7}$ $\displaystyle = \frac{7 \left( a _{1} + a _{7} \right)}{2} = \frac{7 \left( a _{2} + a _{6} \right)}{2} = \cdots = \frac{7 \left( 2 + 2 ^{9} \right)}{2}$ =$1799$ $2 , b _{1} , b _{2} , \cdots , b _{7} , 2 ^{9}$은 등비수열이므로 공비를 $r$라 하면, $2 ^{9} = 2 r ^{8}$에서 $r = 2$ $\therefore b _{1} + b _{2} + b _{3} + \cdots + b _{7}$$\displaystyle = \frac{4 \left( 2 ^{7} - 1 \right)}{2 - 1} = 508$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} l _{n} = \left( a _{1} - b _{1} \right) + \left( a _{2} - b _{2} \right) + \cdots + \left( a _{7} - b _{7} \right)$ $= ( a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{7} ) - ( b _{1} + b _{2} + \cdots + b _{7} )$ $= 1799 - 508 = 1291$