대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 선분 길이

문제

곡선 $y = \log _{3} 9 x$ 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , b )$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{3} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{B}$ , 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{3} 9 x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$ 일 때, $a + 3 ^{b}$ 의 값은? (단, $a$ , $b$ 는 상수이다.) [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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⑤

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해설

$y = \log _{3} 9 x = 2 + \log _{3} x$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2$ 따라서 A $( a , b )$ , B $( a + 2 , b )$ 이고, $b = \log _{3} 9 a =$ $\log _{3} ( a + 2 )$ 이것을 풀면 $3 ^{b} = 9 a = a + 2$ , $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ , $\displaystyle 3 ^{b} = \frac{9}{4}$ $\therefore$ $\displaystyle a + 3 ^{b} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}$

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