미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 삼각형 넓이 극한

문제

곡선 y=ln⁡xy = \ln x위를 움직이는 점 P(t,ln⁡t)\mathrm{P} \mathit{(} t , \ln t )와 두 점 A(1,0)\mathrm{A} \mathit{(} 1 , 0 ), B(e,0)\mathrm{B} \mathit{(} e , 0 )에 대하여 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이를 S(t)S ( t )라 할 때, lim⁡t→1+0S(t)t−1\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} {} \frac{S ( t )}{t - 1}의 값은?(단, ee는 자연로그의 밑) [4점]

①e−1{e - 1}②2(e−1)2 ( {e - 1} )③e−12\displaystyle \frac{e - 1}{2}④e−12e\displaystyle \frac{e - 1}{2 e}⑤e(e−1)2\displaystyle \frac{e ( {e - 1} )}{2}

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③

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해설

△PAB\triangle \mathrm{PAB}의 넓이 S=12⋅AB‾⋅ln⁡t=12(e−1)ln⁡t\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{\overline{AB}} \mathit{\cdot} \ln t = \frac{1}{2} ( e - 1 ) \ln t 이므로 lim⁡t→1+0St−1=lim⁡t→1+0(e−1)ln⁡t2(t−1)=e−12lim⁡t→1+0ln⁡tt−1\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} {\frac{S}{t - 1} =} \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} {} \frac{( e - 1 ) \ln t}{2 ( t - 1 )} = \frac{e - 1}{2} \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} {\frac{\ln t}{t - 1}} =e−12×1\displaystyle = \frac{e - 1}{2} \times 1(∵lim⁡t→1ln⁡tt−1=1\displaystyle \because \lim\limits _{t \rightarrow 1} {\frac{\ln t}{t - 1}} \mathit{=} 1) ∴lim⁡t→1+0St−1=e−12\displaystyle \therefore \lim\limits _{t \rightarrow 1 + 0} {\frac{S}{t - 1}} = \frac{e - 1}{2}

태그

#로그함수의 극한#넓이

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