로그곡선 삼각형 극한

[출제의도] 지수함수를 이용하여 극한값을 추측한다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , \ln a )$($a > 0$)라 하면 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( \mathit{a} , e ^{a} \right)$ 점 $\mathrm{P}$는 직선 $x + y = t$ 위의 점이므로 $a + \ln a = t$ $\ln a e ^{a} = t$이므로 $ae ^{a} = e ^{t}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{O} HQ$의 넓이 $S ( t )$는 $S ( t )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OH}}} \times {\overline{\mathrm{HQ}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times a \times e ^{a}$$\displaystyle = \frac{1}{2} ae ^{a}$$\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{t}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{2 S ( t ) - 1}{t}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{2 \times \frac{1}{2} e ^{t} - 1}{t}$$= 1$