로그곡선 삼각형

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제해결하기 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$은 곡선 $y = \log _{2} x + 1$과 직선 $y = n$이 만나는 점이므로 $\log _{2} x + 1 = n$ $x = 2 ^{n - 1}$ $\therefore$ $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( 2 ^{\mathit{n} - 1} , \mathit{n} \right)$ 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$은 곡선 $y = \log _{2} x$와 직선 $y = n$이 만나는 점이므로 $\log _{2} x = n$ $x = 2 ^{n}$ $\therefore$ $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( 2 ^{\mathit{n}} , \mathit{n} \right)$ 점 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$은 곡선 $y = \log _{2} \left( x - 4 ^{n} \right)$과 직선 $y = n$이 만나는 점이므로 $\log _{2} \left( x - 4 ^{n} \right) = n$ $x = 2 ^{n} + 4 ^{n}$ $\therefore$ $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \left( 2 ^{\mathit{n}} + 4 ^{\mathit{n}} , \mathit{n} \right)$ $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times n \times \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}$, $\displaystyle T _{n} = \frac{1}{2} \times n \times \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{T _{n}}{S _{n}}$$\displaystyle = {\frac{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}{{\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}}}}$$\displaystyle = \frac{2 ^{n} + 4 ^{n} - 2 ^{n}}{2 ^{n} - 2 ^{n - 1}}$ $\displaystyle = \frac{4 ^{n}}{( 2 - 1 ) \times 2 ^{n - 1}}$ $= 2 ^{n + 1} = 64$ 따라서 $n = 5$