미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그곡선 사이 넓이 비

문제

그림과 같이 두 직선 x=p,x=q와xx = p , x = q \text{와} x축 및 곡선 y=log⁡axy = \log _{a} x로 둘러싸인 부분을 곡선 y=log⁡bxy = \log _{b} x가 두 부분 A\mathrm{A}와 B\mathrm{B}로 나눈다. A\mathrm{A}와 B\mathrm{B}의 넓이를 각각 α,β\alpha , \beta라 할 때, αβ\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}의 값은? (단, 1<a<b,1<p<q)1 < a < b , 1 < p < q ) [3점]

①(ba−1)(q−p)\displaystyle \left( \frac{b}{a} - 1 \right) ( q - p )②ab−1\displaystyle \frac{a}{b} - 1③log⁡ab−1\log _{a} b - 1④log⁡ba−1\log _{b} a - 1⑤(q−p)log⁡ba( q - p ) \log _{b} a

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③

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해설

β=∫pqlog⁡bxdx\displaystyle \beta = \int _{p} ^{q} {} \log _{b} x dx=1ln⁡b∫pqln⁡xdx\displaystyle = \frac{1}{\ln b} \int _{p} ^{q} {} \ln x dx=1ln⁡b[xln⁡x−x]pq\displaystyle = \frac{1}{\ln b} [ x \ln x - x ] _{p} ^{q} =1ln⁡b(qln⁡q−q−pln⁡p+p)\displaystyle = \frac{1}{\ln b} ( q \ln q - q - p \ln p + p ) α=∫pqlog⁡axdx−β\displaystyle \alpha = \int _{p} ^{q} {} \log _{a} x dx - \beta =1ln⁡a∫pqln⁡xdx−β\displaystyle = \frac{1}{\ln a} \int _{p} ^{q} {} \ln x dx - \beta =1ln⁡a[xln⁡x−x]pq−β\displaystyle = \frac{1}{\ln a} [ x \ln x - x ] _{p} ^{q} - \beta =1ln⁡a(qln⁡q−q−pln⁡p+p)\displaystyle = \frac{1}{\ln a} ( q \ln q - q - p \ln p + p )−1ln⁡b(qln⁡q−q−pln⁡p+p)\displaystyle - \frac{1}{\ln b} ( q \ln q - q - p \ln p + p ) =(1ln⁡a−1ln⁡b)(qln⁡q−q−pln⁡p+p)\displaystyle = \left( \frac{1}{\ln a} - \frac{1}{\ln b} \right) ( q \ln q - q - p \ln p + p ) ∴αβ=(1ln⁡a−1ln⁡b)1ln⁡b\displaystyle \therefore \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\left( \frac{1}{\ln a} - \frac{1}{\ln b} \right)}{\frac{1}{\ln b}}=ln⁡bln⁡a−1\displaystyle = \frac{\ln b}{\ln a} - 1=log⁡ab−1= \log _{a} b - 1

태그

#로그함수의 적분#넓이

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