대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그곡선 사각형 넓이

문제

그림과 같이 $x$ 축 위의 한 점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 직선이 곡선 $y = \log _{2} x ^{3}$ 과 서로 다른 두 점 $\mathrm{B} , C$ 에서 만나고 있다. 두 점 $\mathrm{B} , C$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{D} , E$ 라 하고, 두 선분 $\mathrm{B} D$ , $\mathrm{C} E$ 가 곡선 $y = \log _{2} x$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{F} , G$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}} B : \overline{BC} = 1 : 2$ 이고, 삼각형 $\mathrm{A} DB$ 의 넓이가 $\displaystyle \frac{9}{2}$ 일 때, 사각형 $\mathrm{B} FGC$ 의 넓이를 구하시오. (단, 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표는 $0$ 보다 작다.) [4점]

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해설

$\log _{2} x ^{3}$ $- \log _{2} x$ $= 3 \log _{2} x$ $- \log _{2} x$ $= 2 \log _{2} x$ 이므로 두 점 $\mathrm{F} , G$ 는 두 선분 $\mathrm{B} D , CE$ 를 각각 $2 : 1$ 로 내분하는 점이다. $\therefore$ $\displaystyle \square \mathrm{B} FGC = \frac{2}{3} \times \square BDEC$ $\displaystyle = \frac{2}{3} \left( 8 \times \triangle \mathrm{A} DB \right)$ $\displaystyle = \frac{16}{3} \times \frac{9}{2}$ $= 24$

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