로그곡선 외분점

[출제의도] 로그함수와 수열의 문제 해결하기

$y = \log _{2} x$

세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 각각의 $y$좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $x$좌표는 등비수열을 이룬다. 따라서 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 각각의 $x$좌표를 $a , ar , ar ^{2}$($a > 0$, $r > 1$) 이라 하자. 점 $\mathrm{F}$는 선분 $\mathrm{DE}$를 $9 : 5$로 외분하는 점이므로 $\displaystyle ar ^{2} = \frac{9 ar - 5 a}{9 - 5}$이다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{5}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{OE}}}}{{\overline{\mathrm{OD}}} + {\overline{\mathrm{OF}}}} = \frac{\frac{5}{4} a}{a + \frac{25}{16} a} = \frac{20}{41}$ 이다. 그러므로 $p + q = 61$이다. [다른풀이1] 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 각각의 $x$좌표를 각각 $a , b , c$라 하자. 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 각각의 $y$좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\log _{2} a$, $\log _{2} b$, $\log _{2} c$는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로 $2 \log _{2} b = \log _{2} a + \log _{2} c$이므로 $b ^{2} = ac$이다. 따라서 $a$, $b$, $c$가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 공비를 $r$이라 하면 $b = ar$, $c = ar ^{2}$이다. 점 $\mathrm{F}$는 선분 $\mathrm{DE}$를 $9 : 5$로 외분하는 점이므로 $\displaystyle ar ^{2} = \frac{9 ar - 5 a}{9 - 5}$이다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{5}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{OE}}}}{{\overline{\mathrm{OD}}} + {\overline{\mathrm{OF}}}} = \frac{\frac{5}{4} a}{a + \frac{25}{16} a} = \frac{20}{41}$ 이다. 그러므로 $p + q = 61$이다. [다른풀이2] 점 $\mathrm{F}$는 선분 $\mathrm{DE}$를 $9 : 5$로 외분하는 점이므로 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 각각의 $x$좌표를 각각 $a$, $a + 4 k$, $a + 9 k$라 하자. 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 각각의 $y$좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\log _{2} a$, $\log _{2} \left( a + 4 k \right)$, $\log _{2} \left( a + 9 k \right)$는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로 $2 \log _{2} \left( a + 4 k \right) = \log _{2} a + \log _{2} \left( a + 9 k \right)$이므로 $\left( a + 4 k \right) ^{2} = a \left( a + 9 k \right)$이다. 따라서 $a = 16 k$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{OE}}}}{{\overline{\mathrm{OD}}} + {\overline{\mathrm{OF}}}} = \frac{20 k}{16 k + 25 k} = \frac{20}{41}$ 이다. 그러므로 $p + q = 61$이다.