대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 직선 넓이

문제

그림과 같이 곡선 $y = \log _{2} x$ 와 직선 $y = x - p$ 가 $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 곡선 $y = \log _{2} x$ 와 직선 $y = x - p$ 가 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하고 점 $\mathrm{C}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{D}$ 라 하자. $\mathrm{\triangle} BDC$ 의 넓이가 $\displaystyle \frac{9}{2}$ 일 때, $\mathrm{\triangle} ABC$ 의 넓이를 구하시오. (단, $p > 1$ ) [4점]

$y = \log _{2} x$ $y = x - p$

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[출제의도] 로그함수 이해하기 점 $\mathrm{D} \mathit{\left( a , 0 \right)}$ 이라 하면 점 $\mathrm{A}$ $( 1 , 0 )$ , 점 $\mathrm{B} ( \mathit{p} , 0 )$ , 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( a , a - p \right)}$ 이고 점 $\mathrm{C}$ 는 $y = \log _{2} x$ 위에 있으므로 ∴ $a - p = \log _{2} a$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\mathrm{\triangle} BDC$ 의 넓이 $=$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( a - p \right) ^{2} = \frac{9}{2}$ ∴ $a - p = 3$ $( a > p )$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$ , $\text{㉡}$ 에 의해 $a = 8$ , $p = 5$ 따라서 $\mathrm{\triangle} ABC$ 의 넓이 $=$ $\displaystyle \frac{1}{2} ( p - 1 ) ( a - p ) = 6$

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