로그곡선 정사각형 개수

한 변의 길이가 3이거나 4인 꼭짓점의 좌표가 모두 자연수인 정사각형의 변은 그림과 같이 좌표축에 평행인 것뿐이다. 네 꼭짓점의 좌표를 그림과 같이 두면, P는 $y = \log _{2} x$ 위에, Q는 $y = \log _{16} x$아래에 있을 때 조건 (나)를 만족한다. 따라서 $\log _{2} a < b + n$, $b < \log _{16} ( a + n )$ 즉, $a < 2 ^{b+n}$, $a + n > 2 ^{4b}$ 이므로 $2 ^{4 b} - n < a < 2 ^{b + n}$이다. i) $n = 3$이면 $2 ^{4 b} - 3 < a < 2 ^{b+3}$ 에서 $b = 1$이면 $16 - 3 < a < 16$ -- $a =$14, 15 $b \geq 2$이면 $2 ^{4b} - 3 > 2 ^{b+3}$이므로 불가능, $\therefore$ $a _{3} = 2$ ii) $n = 4$이면 $2 ^{4 b} - 4 < a < 2 ^{b + 4}$ 에서 $b = 1$이면 $16 - 4 < a < 32$ -- $a =$13, $\cdots$ , 31 $b \geq 2$이면 $2 ^{4 b} - 4 > 2 ^{b + 4}$이므로 불가능, $\therefore$ $a _{4} = 19$ i),ii)에서 $\therefore$ $a _{3} + a _{4} = 2 + 19 = 21$