로그곡선 점 좌표 합

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수열의 합을 구한다.

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$ (단, $a$, $b$는 양수)라 하고, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 이때 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 지나는 직선의 기울기가 $- 1$이므로 삼각형 $\mathrm{PHQ}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{HQ}}$인 직각이등변삼각형이다. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2} n$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = n$, 즉 $b = n$이다. 점 $\mathrm{P} \mathit{(} a , n )$이 곡선 $y = \log _{2} ( x + 1 )$ 위의 점이므로 $n$$= \log _{2} ( a + 1 )$ $a$$= 2 ^{n} - 1$ 이때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = {\overline{\mathrm{OH}}} + {\overline{\mathrm{HQ}}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}} = n$이므로 $x _{n}$$= a + n$ $= 2 ^{n} - 1 + n$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} x _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( 2 ^{k} - 1 + k \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} 2 ^{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{5} 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{5} k$ $\displaystyle = \frac{2 \times ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} - 5 \times 1 + \frac{5 \times 6}{2}$ $= 62 - 5 + 15$ $= 72$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a , b )$ (단, $a$, $b$는 양수)라 하자. 점 $\mathrm{Q}$의 좌표가 $\left( x _{n} , 0 \right)$이고 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기가 $- 1$이므로 $\displaystyle \frac{0 - b}{x _{n} - a} = \mathit{-} 1$에서 $x _{n} - a = b$ $x _{n} = a + b$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\displaystyle = \sqrt{( x _{n} - a ) ^{2} + ( 0 - b ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{b ^{2} + b ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{2} b$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2} n$에서 $b = n$이다. 점 $\mathrm{P} \mathit{(} a , n )$이 곡선 $y = \log _{2} ( x + 1 )$ 위의 점이므로 $n = \log _{2} ( a + 1 )$에서 $a$$= 2 ^{n} - 1$ $x _{n}$$= a + b$ $= 2 ^{n} - 1 + n$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5} x _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} \left( 2 ^{k} - 1 + k \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{5} 2 ^{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{5} 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{5} k$ $\displaystyle = \frac{2 \times ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} - 5 \times 1 + \frac{5 \times 6}{2}$ $= 62 - 5 + 15$ $= 72$