미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 회전체 부피

문제

두 곡선 y=ln⁡x+3,y=ln⁡1x+3\displaystyle y = \ln x + 3 , y = \ln \frac{1}{x} + 3과 직선 x=ex = e로 둘러싸인 부분을 xx축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는 VV이다. Vπ\displaystyle \frac{V}{\pi}의 값을 구하여라. [4점]

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해설

ln⁡x+3=ln⁡1x+3\displaystyle \ln x + 3 = \ln \frac{1}{x} + 3에서 2ln⁡x=02 \ln x = 0 ∴ x=1x = 1 따라서 두 곡선은 (1,3)( 1 , 3 )에서 만난다. ∴ VV=π∫1e{(ln⁡x+3)2−(ln⁡1x+3)2}dx\displaystyle = \pi \int _{1} ^{e} \left\{ \left( \ln x + 3 \right) ^{2} - \left( \ln \frac{1}{x} + 3 \right) ^{2} \right\} dx =12π∫1eln⁡x⋅dx\displaystyle = 12 \pi \int _{1} ^{e} \ln x \cdot dx =12π[xln⁡x−x]1e=12π\displaystyle = 12 \pi \left[ \begin{array}{l} x \ln x - x \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{e} = 12 \pi ∴ Vπ=12\displaystyle \frac{V}{\pi} = 12

태그

#회전체의 부피#부분적분

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