대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 교점 합

문제

[13~14] 함수 f(x)=log⁡2(x+3){f ( x ) = \log _{2} ( x + 3 )}에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

그림과 같이 자연수 nn에 대하여 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 직선 y=ny = n이 만나는 점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}이라 하자. 점 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}의 xx좌표를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=110an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n}의 값은? [3점]

y=f(x)y = f ( x ) An\mathrm{A} _{\mathit{n}}

①20102010②20122012③20142014④20162016⑤20182018

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④

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해설

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기 log⁡2(x+3)=n\log _{2} ( x + 3 ) = n에서 x+3=2nx + 3 = 2 ^{n} 즉, x=2n−3x = 2 ^{n} - 3이므로 an=2n−3a _{n} = 2 ^{n} - 3 따라서 ∑n=110an=∑n=110(2n−3)\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{10} a _{n} & = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 2 ^{n} - 3 \right) \end{aligned}=2(210−1)2−1−30=2016\displaystyle = \frac{2 ( 2 ^{10} - 1 )}{2 - 1} - 30 = 2016

태그

#등비수열의 합#로그함수

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