미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그곡선 보기

문제

두 함수 f(x)=ln⁡xf ( x ) = \ln x, g(x)=ln⁡1x\displaystyle g ( x ) = \ln \frac{1}{x}의 그래프가 만나는 점을 P\mathrm{P}라 할 때 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (1,0)( 1 , 0 )이다. ㄴ. 두 곡선 y=f(x)y = f ( x ), y=g(x)y = g ( x ) 위의 점 P\mathrm{P}에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. ㄷ. t>1t > 1일 때, −1<f(t)g(t)(t−1)2<0\displaystyle - 1 < \frac{f ( t ) g ( t )}{( t - 1 ) ^{2}} < 0이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 추론하기

ㄱ. ln⁡x=ln⁡1x\displaystyle \ln x = \ln \frac{1}{x}에서 x=1x = 1 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (1,0)( \mathit{1} , 0 ) (참) ㄴ. f′(1)=1f' ( 1 ) = 1, g′(1)=−1g' ( 1 ) = - 1이므로 f′(1)×g′(1)=1×(−1)=−1f' ( 1 ) \times g' ( 1 ) = 1 \times \left( - 1 \right) = - 1 그러므로 두 곡선 위의 점 P\mathrm{P}에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. (참) ㄷ. t>1t > 1에서 함수 f(t)f ( t )는 증가하고, f′(t)=1t\displaystyle f' ( t ) = \frac{1}{t}이고 f′(1)=1f' ( 1 ) = 1이므로 t>1t > 1인 tt에 대하여 0<f(t)−f(1)t−1<1\displaystyle 0 < \frac{f ( t ) - f ( 1 )}{t - 1} < 1 t>1t > 1에서 함수 g(t)g ( t )는 감소하고, g′(t)=−1t\displaystyle g' ( t ) = - \frac{1}{t}이고 g′(1)=−1g' ( 1 ) = - 1이므로 t>1t > 1인 tt에 대하여 −1<g(t)−g(1)t−1<0\displaystyle - 1 < \frac{g ( t ) - g ( 1 )}{t - 1} < 0 그러므로 −1<f(t)−f(1)t−1×g(t)−g(1)t−1<0\displaystyle - 1 < \frac{f ( t ) - f ( 1 )}{t - 1} \times \frac{g ( t ) - g ( 1 )}{t - 1} < 0 −1<f(t)g(t)(t−1)2<0\displaystyle - 1 < \frac{f ( t ) g ( t )}{\left( t - 1 \right) ^{2}} < 0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

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