로그값이 자연수가 되는 순서쌍의 개수

$\displaystyle - \log _{\sqrt{2}} m + \log _{\frac{1}{2}} \left( 4 n + 6 \right) ^{- 1}$ $= \log _{2} \left( 4 n + 6 \right) - \log _{2} m ^{2}$ $\displaystyle = \log _{2} \frac{4 n + 6}{m ^{2}}$ 이 값이 자연수이므로 $\displaystyle \log _{2} \frac{4 n + 6}{m ^{2}} = k$ ($k$는 자연수) 라 하면 $\displaystyle \frac{4 n + 6}{m ^{2}} = 2 ^{k}$, $2 n + 3 = 2 ^{k - 1} m ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠에서 $2 n + 3$이 홀수이므로 $k - 1 = 0$, $k = 1$ 즉, $2 n + 3 = m ^{2}$을 만족하는 순서쌍 $\left( m , n \right)$은 $\left( 3 , 3 \right)$, $\left( 5 , 11 \right)$, $\left( 7 , 23 \right)$, $\left( 9 , 39 \right)$ 따라서 구하는 모든 순서쌍 $\left( m , n \right)$의 개수는 $4$이다.