로그가 유리수인 집합

[출제의도] 로그를 이용하여 주어진 집합의 성질 추론하기 ㄱ. $A _{2} = \left\{ x | \log _{2} x \right.$가 유리수, $\left. 2 \leq x \leq 100 \right.$인 자연수$\}$ $= \left\{ 2 , 2 ^{2} , 2 ^{3} , 2 ^{4} , 2 ^{5} , 2 ^{6} \right\}$ 이므로 $n \left( A _{2} \right) = 6$ (참) ㄴ. $n \left( A _{3} \right) = n \left( A _{9} \right) = n \left( A _{27} \right) = n \left( A _{81} \right) = 4$이므로 $n \left( A _{3} \right) + n \left( A _{9} \right) + n \left( A _{27} \right) + n \left( A _{81} \right) = 16$ (참) ㄷ. $x \in A _{m} \cap A _{n}$에 대하여 $x = m ^{p} = n ^{q}$($p$, $q$는 양의 유리수) $y \in A _{m}$이면 $\displaystyle y = m ^{r} = x ^{\frac{r}{p}} = n ^{\frac{qr}{p}}$($r$는 양의 유리수) 이므로 $y \in A _{n}$이다. 즉, $A _{m} \subset A _{n}$ 같은 방법으로 $A _{n} \subset A _{m}$이므로 $A _{m} = A _{n}$(참) $\therefore$ㄱ, ㄴ, ㄷ