로그가 정수가 되는 원소의 개수

$\log _{2} f ( x ) =$$n$ (단, $n$은 정수)라 하면 $f ( x ) = 2 ^{n}$ 즉, $\sin ( a \pi x ) + 2 b = 2 ^{n}$에서 $\sin \left( a \pi x \right) = 2 ^{n} - 2 b$이다. $\sin \left( a \pi x \right) = 2 ^{n} - 2 b$를 만족하는 $x$의 값이 $8$개가 되도록 하는 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $b = 1$일 때, $\sin ( a \pi x ) = 2 ^{n} - 2$에서 $n = 0$일 때, $\sin a \pi x = - 1$ $n = 1$일 때, $\sin a \pi x = 0$

$0 \leq x \leq 1$에서 $\sin a \pi x = - 1$ 또는 $\sin a \pi x = 0$의 해가 $8$개이기 위해서는 위의 그림과 같이 $\displaystyle \frac{5}{a} \leq 1$, $\displaystyle \frac{11}{2 a} > 1$ 을 만족해야한다. 따라서 $\displaystyle 5 \leq a < \frac{11}{2}$이므로 자연수 $a$의 값은 $5$이다. (ⅱ) $b \geq 2$일 때, (1) $b = 2 ^{n - 1} ( n \geq 2 )$인 경우 $\sin a \pi x = 0$

$0 \leq x \leq 1$에서 $\sin a \pi x = 0$의 해가 $8$개이기 위해서는 위의 그림과 같이 $\displaystyle \frac{7}{a} \leq 1$, $\displaystyle \frac{8}{a} > 1$ 을 만족해야 한다. 따라서 $7 \leq a < 8$이므로 자연수 $a$의 값은 $7$이다. (2) $b \ne 2 ^{n - 1} ( n \geq 2 )$인 경우 $\sin \left( a \pi x \right) = 2 ^{n} - 2 b$의 해는 존재하지 않는다. 이상에서 만족하는 $a$의 값은 $5$ 또는 $7$이므로 모든 $a$의 값의 합은 $12$이다.