로그부등식을 만족하는 원소 개수의 합

위의 그래프에서 $f \left( n \right) = k$ (단, $k$는 자연수)라 하면 $x = k$일 때 $k \leq \log _{2} \left( k + n \right)$ $x = k + 1$일 때 $\log _{2} \left( k + 1 + n \right) < k + 1$ 이 성립하므로 두 식을 연립하면 $2 ^{k} - k \leq n < 2 ^{k + 1} - k - 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이 성립한다. ㉠의 양변의 $k$값에 자연수를 대입하여 조건을 만족하는 자연수 $n$을 구하면 아래와 같다. (ⅰ) $k = 1$일 때 $2 - 1 \leq n < 2 ^{2} - 2$, $n = 1$ 즉 $f \left( n \right) = 1$인 자연수 $n$은 $1$ 뿐이다. (ⅱ) $k = 2$일 때 $2 ^{2} - 2 \leq n < 2 ^{3} - 3$, $n = 2$, $3$, $4$ 즉 $f \left( n \right) = 2$인 자연수 $n$은 $n = 2$, $3$, $4$이다. (ⅲ) $k = 3$일 때 $2 ^{3} - 3 \leq n < 2 ^{4} - 4$, $5 \leq n < 12$ 즉 $f \left( n \right) = 3$인 자연수 $n$은 $n = 5$, $6$, $7$, $\cdots$, $11$이다. (ⅳ) $k = 4$일 때 $2 ^{4} - 4 \leq n < 2 ^{5} - 5$, $12 \leq n < 27$ 즉 $f \left( n \right) = 4$인 자연수 $n$은 $n = 12$, $13$, $14$, $\cdots$, $26$이다. 이상에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} f \left( n \right)$$= 1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 7 + 4 \times 9$$= 64$